Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в точке тела , то есть, напряжение - это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение - это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела.

Деформацией называется изменение размеров и формы тела под действием приложенных сил.

Напряжением называется отношение действующего усилия к площади поперечного сечения тела или образца σ = P/F . В зависимости от направления действия силы нормальные напряжения подразделяют на растягивающие и сжимающие . Различают временные и остаточные напряжения. Временные напряжения возникают под действием внешней нагрузки и исчезают после ее снятия, остаточные - остаются в теле после прекращения действия нагрузки.

Если после прекращения действия внешних сил изменения формы, структуры и свойств тела полностью устраняются, то такая деформация называется упругой .

При возрастании напряжений выше предела упругости деформация становится необратимой. При снятии нагрузки устраняется лишь упругая составляющая деформации, оставшаяся часть называется пластической деформацией .

Норм напряжение:

Составляющая напряжений, направленных по нормали к площадке ее действия.

Касат напряжение:

Составляющая напряжений, лежащих в плоскости сечения.

Правила знаков:

Нормальные напряжения σ принимаются положительными (т.е. σ>0), если они растягивают выделенный элемент бруса.

Касательные напряжения τ принимаются положительными (т.е. τ>0), если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент бруса по ходу часовой стрелки.

При растяжении-сжатии

Внутренняя продольная сила N , которая стремится растянуть рассматриваемую частьбруса , считается положительной. Сжимающая продольная сила имеет отрицательный знак.

При кручении

Внутренний скручивающий момент T считается положительным, если он стремится повернуть рассматриваемую часть бруса против хода часовой стрелки, при взгляде на него со стороны внешней нормали.

При изгибе

Внутренняя поперечная сила Q считается положительной, в случае, когда она стремится повернуть рассматриваемую часть бруса по ходу часовой стрелки.

Внутренний изгибающий момент M положителен, когда он стремится сжать верхние волокна бруса.

Деформация при растяжении-сжатии Δl считается положительной, если длина стержняпри этом увеличивается.

При плоском поперечном изгибе

Вертикальное перемещение сечения бруса принимается положительным, если оно направлено вверх от начального положения.

Правило знаков при составлении уравнений статики

- для проекций сил на оси системы координат

Проекции внешних сил на оси системы координат принимаются положительными, если их направление совпадает с положительным направлением соответствующей оси.

- для моментов

Сосредоточенные моменты и моменты сил в уравнениях статики записываются с положительным знаком, если они стремятся повернуть рассматриваемую систему против хода часовой стрелки.

Правило знаков при составлении уравнений статики для неподвижных систем

При составлении уравнений равновесия статичных (неподвижных) систем (например, приопределении опорных реакций ), последние два правила упрощаются до вида:

Проекции сил и моменты, имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а соответственно проекции сил и моменты обратного направления – отрицательными.

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если все векторы напряжений параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние называется плоским (рис. 1). Иначе: напряженное состояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю.

Рисунок 1.

Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).

Направления напряжений на рис. 1 приняты за положительные. Угол α положителен, если он откладывается от оси х к оси у. На площадке с нормалью n:

Нормальное напряжение σ n положительно, если оно растягивающее. Положительное напряжение показано на рис. 1. Правило знаков дляпо формуле (1) то же самое, что для напряженийпо формуле (1).

Данное здесь правило знаков относится к наклонным площадкам. В статье «Объёмное напряженное состояние» сформулировано правило знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для напряжений на площадках, перпендикулярных осям координат. Это правило знаков принято в теории упругости.

Главные напряжения на площадках, перпендикулярных плоскости напряжений:

Наибольшее и наименьшее касательные напряжения

Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к первой и второй главным площадкам.

1. Виды нагрузок и схематизация элементов сооружений.

К числу основных типов элементов, на которые в расчетной схеме подразделяется целая конструкция, относятся стержень или брус, пластина, оболочка и массивное тело.

Стержень- это тело, длина которого существенно превышает характерные размеры поперечного сечения.

Пластина- это тело, у которого толщина существенно меньше его размеров в плане. Искривленная пластина (криволинейная до загружения) называется оболочкой.

Массивное тело характерно тем, что все его размеры имеют один порядок.

Внешние нагрузки подразделяют на сосредоточенные и распределенные.

Силу или момент, которые условно считаются приложенными в точке, называют сосредоточенными.

Распределенная нагрузка характеризуется в каждой точке числовым значением и направлением вектора интенсивности этой нагрузки. Интенсивность может быть отнесена к единице объема, единице площади или единице длины. Соответственно она называется объемной, поверхностной и линейно распределенной или погонной нагрузкой.

2. Внутренние силы в стержне и их определение.

Согласно 3-му закону Ньютона, силы взаимодействия между отдельными частями тела уравновешены. После приложения внешних нагрузок происходит перераспределение этих сил, появляются дополнительные силы, стремящиеся вернуть тело в исходное состояние.

Сила взаимодействия между отдельными частями тела, возникающая вследствие воздействия внешних нагрузок называется внутренними силами или внутренними силовыми факторами.

Для определения внутренних сил используется метод сечений.

В том месте, где нужно определить внутреннее усилие проводят сечение плоскостью и рассматривают отсеченные части по отдельности (мысленно).

Вводят декартову систему координат XYZ и раскладывают и на составляющие по осям.

В каждом сечении действуют 6 внутренних усилий:

N- продольная сила, - поперечные (перерезывающие) силы, Т- крутящий момент,

Изгибающий момент.

Для определения 6-ти внутренних усилий достаточно записать 6 уравнений равновесия для пространственной системы сил, действующих на одну из отсеченных частей, с учетом как внутренних, так и внешних сил.

3. Понятия о напряжениях и деформациях в точке.

Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

Центральное растяжение или сжатие бруса является простейшим видом деформации тела, когда напряженное состояние всех его точек одинаково (однородное напряженное состояние).

Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через данную точку, называется деформированным состоянием в точке .

Закон Гука : ; Модуль упругости : ;

В различных элементах конструкций и машин возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения и сжатия.

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Я. Бернулли): поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации.

5. Диаграмма растяжения.

По диаграмме растяжения оцениваются механические характеристики материала.

Деформация рассматривается для упругопластичного материала (малоуглеродистая сталь).

т. А – предел пропорциональности ;

т. В – предел упругости ;

т. С – предел текучести ;

т. D – временный предел прочности;

т. Е – разрушение образца.

Это такое максимальное напряжение, до которого материал следует закону Гука.

Такое максимальное напряжение, при котором после снятия нагрузки материал вернётся в исходное состояние.

Это такое напряжение, при котором без видимого изменения нагрузки материал течёт. Если снимем нагрузку, материал вернётся в положение .

СD – зона упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным (в сотни раз), чем на упругом участке.

т. D соответствует максимальному напряжению, при котором материал не разрушается.

т. E – соответствует разрушению образца.

tg - модуль упругости.

6. Сравнение диаграмм растяжения для различных материалов.

s п - предел пропорциональности, s т - предел текучести , s В - предел прочности или временное сопротивление, s к - напряжение в момент разрыва.

Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Допускаемое напряжение , s 0 - опасное напряжение, n - коэф. запаса прочности. Для пластичных материалов s 0 = s т и n = 1,5, хрупких s 0 = s В, n = 3.

7. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии.

При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U= .

Удельная потенциальная энергия - количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема: u = ; . В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

или

Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии u o , накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии u ф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = u о + u ф.

;

8. Полная работа, затраченная на разрыв образца.

По работе, затраченной на разрыв образца, можно оценить способность материала сопротивляться действию ударных и цилиндрических нагрузок. Чем больше работа, затраченная на разрыв образца, тем лучше будет сопротивляться материал действию динамической нагрузки.

9. Истинная диаграмма растяжения.

Истинные напряжения в каждый момент нагружения будут больше условных. Заметное отклонение истинных напряжений от условных происходит после предела текучести, так как сужение сечения становится более значительным. Особенно сильно возрастает разница между напряжениями после образования шейки. Начинают расти и истинные удлинения. Диаграмма напряжений, построенная с учетом сужения площади поперечного сечения и местного увеличения деформаций, называется диаграммой истинных нарпяжений.

10. Диаграмма сжатия; особенности разрушения при сжатии.

Диаграмма древесины. Древесина относится к анизотропному материалу, сопротивляемость которой внешней нагрузке зависит от расположения волокон при испытании. Диаграммы сжатия древесины вдоль волокон (кривая 1), поперек волокон (кривая 2) показаны на рис.

При сжатии образца вдоль волокон на участке ОА древесина работает почти упруго и рост деформаций фактически происходит пропорционально увеличению нагрузки. при дальнейшем увеличении нагрузки деформации начинают расти быстрее, чем усилия. Это указывает на упругопластическую область работы материала.

разрушение образца происходит при нагрузке Рmax (точка Е) пластично в результате потери местной устойчивости стенок ряда волокон древесины, проявляющейся в образовании характерной складки. Оно может также сопровождаться обмятием торцов образца и появлением продольных трещин.

При сжатии образца поперек волокон до наибольшей нагрузки (точка В), соответствующей пределу пропорциональности, между нагрузкой и деформацией существует линейная зависимость. Затем деформации быстро увеличиваются, а нагрузка растет незначительно. В результате образец спрессовывается- уплотняется. при наличии в нем пороков (сучки, трещины) он может разрушиться. Из составления диаграмм видно, что сопротивление древесины сжатию вдоль волокон значительно больше сопротивления поперек волокон (в 8-10 раз).

11. Механические характеристики новых материалов.

Предел упругости- напряжение, до которого материал получает только упругие деформации.

Предел пропорциональности- наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука.

Предел текучести- напряжение, при достижении которого материал течет без заметного увеличения напряжения.

Предел прочности (временное сопротивление)- отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения.

Удлинение при разрыве- средняя остаточная деформация на определенной стандартной длине образца к моменту разрыва.

Пластичность- способность материала без разрушения получать большие остаточные деформации.

Хрупкость- способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций.

Твердость- способность материала противодействовать механическому проникновению в него посторонних тел.

12. Влияние температуры, радиоактивного облучения, термообработки и других факторов на механические характеристики материалов.

Влияние температуры . При повышении температуры у большинства материалов механические характеристики прочности уменьшаются, а при понижении температуры увеличиваются.

У стали при повышенной температуре наступает температурная пластичность. При отрицательных температурах у сталей увеличивается их хрупкость. Это свойство называется хладноломкостью.

Влияние термической обработки. В качестве термической обработки стали используют ее закалку. Для придания указанных свойств низкоуглеродистой стали проводят ее цементацию- увеличение содержания углерода в поверхностном слое, с последующей закалкой этого слоя. Для улучшения структуры и механических свойств стали применяют нормализацию- нагрев стали до температуры 750-950 С, выдержка ее и последующее охлаждение на воздухе.

Влияние технологических факторов. Механические характеристики стали зависят от способа ее получения и обработки.

При литье увеличивается возможность образования различных деформаций в виде пустот, раковин, включений, что приводит к снижению механических характеристик прочности стали.

Прокатка меняет структуру стали- делает ее анизотропной. В направлении прокатки- сталь становиться более прочной, в других направлениях механические свойства существенно отличаются от свойств в направлении прокатки.

Волочение представляет собой вытяжку с обжатием.

Влияние радиоактивного облучения. Влияние этого фактора на конструкции атомных реакторов, синхрофазотронов и т.п. приводит к увеличению механических характеристик прочности и уменьшению характеристик пластичности. Влияние облучения зависит от его дозы.

13. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии.

Система называется статически неопределимой, если внутренние усилия невозможно определить с помощью одних лишь уравнений статики.

Для решения таких задач необходимо к уравнениям статики записать дополнительные уравнения, которые учитывают характер деформации системы, эти уравнения называются уравнениями или условиями совместимости деформации. Они составляются из геометрических соображений. Количество уравнений в совместимости деформаций определяют степень статической неопределимости системы.

Степень статической неопределимости= количество неизвестных- количество уравнений статики.

Алгоритм решения статически-неопределимой задачи:

Указать все неизвестные усилия (реакции опор или внутренние силы)

Составить возможные уравнения статики для данной системы сил

Определить степень статически неопределимой системы

Записать необходимые уравнения совместимости деформации

Присоединить к уравнениям статики совмещенные деформационно-физические соотношения

Решить полученную систему уравнений и определить неизвестные реакции опор или внутренние силы.

14. Проверка прочности и определение необходимых размеров бруса при растяжении (сжатии).

:

15. Метод разрушающих нагрузок.

Для конструкции, изготовленной из материала с достаточно протяженной площадкой текучести, за разрушающую принимается нагрузка, при которой в ее элементах возникают значительные пластические деформации. При этом конструкция становится не способной воспринимать дальнейшее увеличение нагрузки.

При определении разрушающей нагрузки для конструкции из пластичного материала принимается схематизированная диаграмма напряжений - диаграмма Прандтля.

Схематизация диаграммы заключается в предположении, что материал работает в упругой стадии вплоть до предела текучести, а затем материал обладает безграничной площадкой текучести. Материал, работающий по такой модели, называется упругопластическим .

Для конструкции, изготовленной из хрупкого материала, за разрушающую принимается нагрузка, при которой хотя бы в одном из ее элементов возникают напряжения равные пределу прочности .

Определив величину разрушающей (предельной) нагрузки можно установить грузоподъемность стержня или стержневой системы по формуле:

где n- коэффициент запаса прочности, принимаемый таким же, как и в методе допускаемых напряжений.

16. Метод допускаемых напряжений.

Основой метода допускаемых напряжений является предположение, что критерием надежности конструкции будет выполнение следующего условия прочности: ,

где - наибольшее рабочее напряжение, возникающее в одной из точек опасного сечения и определяемое расчетом; - допускаемое (предельное ) для данного материала напряжение, получаемое на основании экспериментальных исследований. Допускаемое напряжение определяется по формуле: ,

где - опасное напряжение (предел текучести, временное сопротивление (предел прочности)); n-коэффициент запаса прочности.

Условие прочности для центрально растянутого (сжатого) элемента будет иметь вид: , , ,

где , - допускаемые напряжения при растяжении и сжатии.

17. Метод предельных состояний.

Предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания или сооружения.

Различают две группы предельных состояний:

первая - непригодность к эксплуатации по причине потери несущей способности ;

вторая - непригодность к нормальной эксплуатации в соответствии с предусмотренными технологическими или бытовыми условиями.

В правильно запроектированном сооружении не должно возникнуть ни одно из указанных предельных состояний, т. е. должна быть обеспечена его надежность .

Надежностью называется способность объекта сохранять в процессе эксплуатации качество, заложенное при проектировании.

Основное уравнение предельных состояний 1-ой группы:

, где N –самое опасное, вероятное при заданных условиях за весь срок эксплуатации усилие в конструкции, ее элементе, соединении, при самом невыгодном сочетании нагрузок и воздействий.

Ф –самая малая, вероятная при заданных условиях несущая способность той же конструкции, ее элемента, соединения.

Основное уравнение предельных состояний 2-й группы имеет вид: .

D – перемещения; – допустимые перемещения.

После перехода за предельные состояния этой группы возможна эксплуатация конструкций с ограничениями (по грузоподъемности, скорости перемещения грузов и т. п.). Подразумевается, что если устранена причина, вызвавшая переход за предельное состояние 2-й группы, и при этом конструкция не перешла за предельное состояние 1-й группы, конструкцию снова можно эксплуатировать без ограничений.

18. Понятие напряженного состояний в точке и его виды.

Взаимодействие между частями элемента конструкции можно охарактеризовать величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента. Эти величины зависят от направления сечения, проведенного через данную точку.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

При расчетах на прочность необходимо устанавливать напряженные состояния в опасных точках конструкции.

Если через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной площадки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю, то в этой точке имеется пространственное (трехосное) напряженное состояние . Если в одной (и только в одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения равны нулю, то в этой точке имеется плоское (двухосное) напряженное состояние . Если касательные и нормальные напряжения равны нулю в двух площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, то в этой точке имеется линейное (одноосное) напряженное состояние ; в таком случае касательные и нормальные напряжения равны нулю и во всех площадках, проходящих через линию пересечения указанных двух площадок.

19. Закон парности касательных напряжений.

Закон парности или взаимности касательных напряжений- на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения.

При этом касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках направлены оба либо к ребру пересечения площадок, либо от ребра.

Закон парности (взаимности) касательных напряжений имеет силу не только для одноосного, но и для любого другого напряженного состояния: двухосного и объемного.

Разрежем элементарный параллелепипед (рис.а) наклонным сечением. Изображаем только одну плоскость. Рассматриваем элементарную треугольную призму (рис.б). Положение наклонной площадки определяется углом a. Если поворот от оси x против час.стр. (см. рис.б), то a>0.

Нормальные напряжения имеют индекс, соответствующий оси их направления. Касательные напряжения, обычно , имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй - направлению самого напряжения.

Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по часовой стрелке.

Напряжения на наклонной площадке:

21. Главные напряжения.

При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку; достаточно знать экстремальные (т.е. максимальные и минимальные) их значения.

Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют, - главными площадками.

Различают три вида напряженного состояния:

1) линейное напряженное состояние - растяжение (сжатие) в одном направлении;

2) плоское напряженное состояние - растяжение (сжатие) по двум направлениям;

3) объемное напряженное состояние - растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные s и касательные t напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются.

На площадках, где действуют экстремальные для точки нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения- главными напряжениями в точке .

Главные напряжения обозначают: σ 1 , σ 2 , σ 3 и

22. Экстремальные касательные напряжения.

Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным на угол 45 град.

В частном случае, когда на гранях элемента действуют численно равные растягивающие и сжимающие напряжения, экстремальные касательные напряжения равны главным напряжениям, а нормальные напряжения в этом случае равны нулю. Такой случай напряженного состояния носит название чистого сдвига.

23. Понятие о траекториях главных напряжений.

Наглядное представление о потоке внутренних сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений: так называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке.

При простом растяжении бруса траекториями главных напряжений являются прямые, параллельные и перпендикулярные его оси. Если во всех точках скручиваемого стержня наметим направление главных напряжений, то на поверхности получим сетку взаимно ортогональных кривых, пересекающих образующие под углом 45 град.,- траектории главных сжимающих и растягивающих напряжений. Прямоугольный элемент, выделяемый траекториями, испытывает растяжение- сжатие в перпендикулярных направлениях, а касательные напряжения на его гранях отсутствуют.

24. Объемное напряженное состояние.

В любой точке нагружаемого тела существуют три главные площадки, в которых действуют главные (нормальные) напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние в точке называется объемным или трехмерным. При условии равенства нулю одного из главных напряжений напряженное состояние считается плоским или двумерным. При отличии от нуля только одного главного напряжения напряженное состояние будет линейным или одномерным.

Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях s 1 , s 2 , s 3:

где a 1 , a 2 , a 3 - углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение: .

Оно действует по площадке параллельной главному напряжению s 2 и наклоненной под углом 45 о к главным напряжениям s 1 и s 3 .

Площадка, равнонаклоненная к направлению трех главных напряжений, называется октаэдрической, а действующие на ней напряжения – октаэдрическими напряжениями.

Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

;

Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.

или
, Октаэдрическое касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений. Интенсивность напряжений :

s x +s y +s z =s 1 +s 2 +s 3 - сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная сумме главных напряжений (первый инвариант).

27. Деформированное состояние в точке.

Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через данную точку, называется деформированным состоянием.

28. Главные деформации. Удлинение в произвольном направлении. (Удлинение- см. вопрос 27).

Деформации в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, называются главными деформациями в точке.

В точках изотропного упругого тела направления главных деформаций и главных напряжений всегда совпадают.

29. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке. (начало- см. вопрос 30)

30. Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях.

Деформации , и в направлениях главных напряжений называются главными деформациями.

31. Изменение объема материала при деформации.

32. Потенциальная энергия при объемном напряженном состоянии.

Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема.

Внутреннюю энергию разбивают на 2 части, соответствующие двум напряженным состояниям:

33. Понятие о чистом сдвиге.

Чистый сдвиг - напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q - сила, действующая вдоль грани, F - площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них - наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: s 1 = - s 3 = t; s 2 = 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45 о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб. d - абсолютный сдвиг,

g » - относительный сдвиг или угол сдвига .

34. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге.

Угол наклона главных площадок:

Формула для определения главных напряжений:

35. Закон Гука при чистом сдвиге.

Закон Гука при сдвиге : g = t/G или t = G×g .

ɣ- относительная угловая деформация или угол сдвига,

G - модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] - постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е - модуль упругости при растяжении, m- коэффициент Пуассона, G- модуль сдвига).

36. Потенциальная энергия при чистом сдвиге.

Чистый сдвиг- напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения.

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а×F - объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

38. Потенциальная энергия при кручении круглого вала.

Кручение- такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникают только одни крутящие моменты.

При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -j. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания - закон плоских сечений . Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: t=gG, G - модуль сдвига, , - полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания , GJ p - жесткость сечения при кручении . - относительный угол закручивания . Потенциальная энергия при кручении :
. Условие прочности: , [t] = , для пластичного материала за t пред принимается предел текучести при сдвиге t т, для хрупкого материала – t в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении: q max £[q] – допустимый угол закручивания.

39. Анализ напряженного состояния при кручении. Главные напряжения и главные площадки.

Напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

40. Кручение стержня с прямоугольным сечением.

41. Понятие о кручении круглого стержня за пределами упругости.

42. Чистый изгиб. Определение нормальных напряжений.

Чистый изгиб -вид деформации, когда в поперечном сечении стержня действует только изгибающий момент. Если кроме изгибающего момента действует и поперечная сила- поперечный изгиб.

При чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения.

43. Касательные напряжения при изгибе.

44. Анализ напряженного состояния при изгибе.

45. Проверка прочности балок при изгибе.

46. Потенциальная энергия при изгибе.

47. Расчет составных балок.

48. Изгиб балок с различными модулями упругости при растяжении и сжатии.

49. Определение разрушающих нагрузок при изгибе балок за пределом упругости.

50. Остаточные напряжения при изгибе.

51. Понятие об изгибе балок, материал которых не следует закону Гука.

52. Понятие о центре изгиба.

Центр изгиба- такая точка, относительно которой момент касательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю.

Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести.

Ось центров изгиба обладает тем свойством, что поперечная нагрузка, пересекающая эту ось, вызывает только изгиб стержня. В противном случае возникает дополнительная деформация кручения относительно этой оси.

Наряду с основной осью стержня, проходящей через центры тяжести сечений, стержень обладает еще осью центров изгиба, к точкам которой должны приводиться поперечные нагрузки при разделении деформаций изгиба и кручения. Иногда эта ось называется осью жесткости, а сама точка- центром жесткости (центром сдвига).

53. Косой изгиб.

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Элемент бруса, примыкающий к этому сечению, находится в условиях косого изгиба.

Случай косого изгиба, при котором в поперечном сечении бруса возникает лишь изгибающий момент, называется чистым косым изгибом. Если же в сечении действует, кроме того, поперечная сила, то имеется поперечный косой изгиб.

54. Одновременное действие изгиба и продольной силы.

55. Внецентренное действие продольной силы.

Если продольная сила действует внецентренно и параллельно продольной оси бруса, то брус испытывает внецентренное сжатие или растяжение.

Расстояние е от продольной силы до оси бруса называется эксцентриситетом.

56. Одновременное действие кручения с изгибом.

Изгиб с кручением- вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действует крутящий и изгибающий моменты.

По третьей теории прочности (теория наибольших касательных напряжений) эквивалентное напряжение вычисляют по формуле:

Экв =

Экв = , и экв = .

Выражение, стоящее в числителе, назовём эквивалентным моментом.

Расчётная формула для круглых валов принимает вид: экв = .

Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.

Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения.

Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна

где - равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке проведенного сечения (рис. 7.1, а).

Разложим силу на две составляющие: касательную АТ и нормальную , из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости.

Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается (тау), а интенсивность нормальных сил - нормальным напряжением и обозначается (сигма). Напряжения выражаются формулами

Напряжения имеют размерность и т. д.

Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1, б). Очевидно, что

Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение - интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений а и в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проведенного через эту точку.

Совокупность напряжений , действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой напряженное состояние в этой точке.

Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.

Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке нормальными а и касательными напряжениями (рис. 8.1). Разложим напряжения на составляющие параллельные соответственно осям у и . На площадку действуют элементарные силы параллельные соответственно осям Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки сечения F) на оси и их моменты относительно этих осей определяются выражениями

Напряжения характеризуются числовым значением и направлением, т. е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению.

Пусть в точке М какого-либо сечения тела по некоторой малой площадке A действует сила F под некоторым углом к площадке (рис. 63, а). Поделив эту силу F на площадь А, найдем возникающее в точке М среднее напряжение (рис. 63, б):

Истинные напряжения в точке М определяются при переходе к пределу

Векторная величина р называется полным напряжением в точке.

Полное напряжение р можно разложить на составляющие: по нормали (перпендикуляру) к площадке А и по касательной к ней (рис, 63, в).

Составляющую напряжения по нормали называют нормальным напряжением в данной точке сечения и обозначают греческой буквой (сигма); составляющую по касательной называют касательным напряжением и обозначают греческой буквой (тау).

Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению - отрицательным.

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.

Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.1.6, в). Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй - параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным.